无穷大的相关运算

Ziyang-Bai

在扩展 Lamina 的数值系统时，遇到了一个很有意思的问题：如何定义和处理无穷大的运算？

在数学里，∞ 并不是一个普通的数，所以不同体系下对它的运算结果是不一样的：

扩展实数
- ∞ + ∞ = ∞
- ∞ - ∞ = 未定义（NaN）
- 这和 IEEE 754 浮点标准一致。（也是MatLab的做法）
基数（集合势）
- ℵ₀ + ℵ₀ = ℵ₀
- ℵ₀ - ℵ₀ 不确定，可能是 0，也可能还是无限。
序数
- ω + ω = ω·2
- ω - ω = 0，但 (ω·2 - ω) = ω
极限运算
- ∞ - ∞ 是不定型（indeterminate form），要看具体表达式，比如：
  - lim(x→∞)(x - x) = 0
  - lim(x→∞)(2x - x) = ∞
    
    lim(x→∞)(x - 2x) = -∞

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Lamina 的可能的几种设计方案：

A：遵循浮点规则
直接与 IEEE 754 一致：∞ - ∞ = NaN。
B：符号代数化
保留 ∞ - ∞ 作为 “不定式 (Indeterminate)”，不立即简化。
C：集合/序数扩展
给 Lamina 引入集合势和序数的“无穷”，提供多层语义。

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大家觉得Lamina应该怎么定义 ∞ 的行为？

S6i_Am3klo

Ziyang-Bai

个人观点：

序数/基数运算不可考虑。道理非常简单，序数相关运算非常麻烦，你引入序数了要引入序数有关运算吧，要引入veblen函数以表示更大序数吧，veblen表示能力也有限要引入OCF吧，OCF也不够用要引入其他各种系统吧，又是一个集合论和符号运算的天坑；基数的aleph0减aleph0连结果都不知道，复杂计算更无从谈起。

极限运算不应放进语言本体（放进 CAS 更合适），如果放进语言本体，那么极限运算结果应该做成单独类型，不能够与正常的无穷大等同。由于未定式的存在这是显而易见的。如果支持极限，那无穷大内部的高低阶得有体现方法吧，又是一个天坑。

所以只剩下IEEE754这一种选项了。这种方法实现起来还简单，何乐而不为？

Ziyang-Bai

MatLab的做法

Jason

不懂数学，不做评价